Basi di calcolo delle probabilità

Il calcolo delle probabilità è nato da umili origini ovvero da problemi riguardanti i giochi d'azzardo, oggi questa disciplina si è sviluppata rigogliosamente a causa del trionfo dei metodi sperimentali. Fisica, matematica, economia e informatica utilizzano frequentemente le sue leggi.
Per esempio, se un hacker vuole craccare una chiave PGP lunga più di 3000 bit con metodo brute-force, tenendo conto dei principi del calcolo delle probabilità si accorge che con tale metodo ci vorrebbe un tempo improponibile, con la capacità di calcolo dei PC attuali, e quindi scarterebbe questo metodo prima di cominciare.Naturalmente per spiegare dettagliatamente questa disciplina un articolo su un blog non basta, mi limiterò a dare qualche definizione e spiegare i principi fondamentali, lasciando al lettore ed alla sua buona volontà il compito di approfondire, cercando in rete oppure leggendo un buon libro.

.DEFINIZIONE
La probabilità è definita come il rapporto fra i casi favorevoli ed i casi possibili:

p=CF/CP

Ovviamente il risultato sarà un numero compreso fra 0 ed 1 , per chiarire il concetto se lanciamo un dado quale sarà la probabilità della sortita del numero "3"? Visto che i casi possibili sono 6 e il caso favorevole è 1 la probabilità sarà 1/6.

PROBABILITÀ TOTALE
Quando un evento si presenta in modalità incompatibili fra loro, la probabilità totale è uguale alla somma delle probabilità:

pt=p1+p2...+pn (ovvio che la somma non potrà mai essere maggiore di 1)

Se ad esempio vogliamo calcolare la probabilità che lanciando un dado esca o il numero 2 o il numero 3(sono due eventi incompatibili in quanto uno esclude l'altro) la probabilità vale pt=2/6.

PROBABILITÀ COMPOSTA
Quando un evento può risultare dal concorso simultaneo o successivo di 2 o più eventi la probabilità composta è uguale al prodotto delle probabilità:

pc=p1.p2.....pn

Se vogliamo calcolare la probabilità che lanciando 2 volte consecutive un dado esca 2 volte il numero uno pc=1/6.1/6=1/36

PROBABILITÀ CONTRARIA
La probabilità contraria di un evento vale 1 meno la probabilità favorevole:

pct=1-p

È logico che se lanciando un dado la probabilità di indovinare il numero vale 1/6, la probabilità di non indovinarlo vale 1-1/6=5/6

VALORE MEDIO DI UNA VARIABILE CASUALE
Se una variabile x può assumere valori diversi e ognuno di questi valori ha una probabilità p1..pn di verificarsi il valore medio di questa variabile vale:

xm=p1.x1 + p2.x2 ....pn.xn

Nel caso del lancio del dado avremo 1/6.1 + 1/6 .2 .....+1/6.6

SCARTO DI UNA VARIABILE CASUALE
Lo scarto è definito come la differenza del valore assunto da una variabile casuale rispetto al suo valore medio:

y=x-xm

DEVIAZIONE STANDARD
La deviazione standard è definita come la radice della media aritmetica del quadrato degli scarti:

PROBABILITÀ IN FUNZIONE DELLA DEVIAZIONE STANDARD
Se le probabilità dei valori che una variabile casuale può assumere sono uguali, è possibile avvalersi del seguente grafico per una stima della probabilità che il valore di una variabile casuale sia compreso entro un certo scarto: